Désolé mais je ne comprends pas bien comment on "voit" que deux nombres sont amiables.
Est-ce que ce n'est pas pas la décomposition en facteurs premiers qu'on voit dans nos résultats de crunch (https://sech.me/boinc/Amicable/show_user_pairs.php?userid=XXX) ? Je ne vois pas bien le rapport avec les nombres amiables pour lesquels on recherche les diviseurs stricts. Ou alors je n'ai pas tout compris
Jean-Luc, toi qui nous a fait des super explications, peux-tu m'aider à piger le truc s'il te plait ?
Tout est basé ici sur la somme des diviseurs d'un nombre.
Par exemple 10 est divisible par 1, 2 et 5 (et lui-même, mais on ne le compte pas).
Or, 1+2+5=8, on dit donc que la somme des diviseurs stricts de 10 (ou la somme de ses parties aliquotes) est s(10)=8.
Or, la manière de très loin la plus efficace pour calculer s(n) est de décomposer n en facteurs premiers et d'appliquer ensuite une formule.
Voir ici pour la formule :
http://www.aliquotes.com/2a.pdfDe plus, il ne suffit pas de donner n et s(n) à la communauté des mathématiciens.
Pour vérifier l'exactitude du calcul, ils devraient refaire la décomposition de n en facteurs premiers, ce qui peut prendre des mois avec l'ordinateur le plus puissant si n a 200 chiffres. Par contre, si la décomposition en facteurs premiers est donnée, la vérification se fait par une simple multiplication en une fraction de secondes. C'est pour cela qu'il y a toujours les nombres de la paire qui sont donnés avec leur décomposition en nombres premiers, cela permet d'ailleurs aussi de les classer selon différentes catégories.
Cette fonction s est l'une des toutes premières découverte par l'homme (Pythagore), mais on ne la connait vraiment pas très bien, sa compréhension en profondeur nous résiste toujours. On peut aussi itérer cette fonction. Par exemple, on prend 10, on calcule s(10)=8. On calcule alors s(8)=7 puis s(7)=1. On tombe donc sur 1 au bout de 3 itérations si l'on part sur l'entier 10. Cela est appelé une "suite aliquote" et c'est le sujet sur lequel je travaille, voici les coordonnées de mon site actif de recherche sur le sujet :
http://www.aliquotes.com/Voici aussi les coordonnées d'un article publié en février 2002 par Jean-Paul Delahaye qui explique super bien (il y cite entres autres certains de mes travaux) :
http://www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/TeoriaNumeros/Suites_Alicotes.pdfQuel est le rapport avec les nombres amiables ?
J'y viens.
Si s(n)=n, alors n est un nombre parfait.Exemple :
s(6)=1+2+3=6, ce qui fait de 6 un nombre parfait (concept de Pythagore).
28 est aussi un nombre parfait : s(28)=1+2+4+7+14=28
Le prochain nombre parfait est 496, le suivant est 8128 et aujourd'hui (juillet 2017), l'être humain n'en connait que 49 et le 49ème connu nécessite plus de 4 millions de chiffres pour l'écrire en base 10.
Un nombre parfait peut aussi être appelé une "chaîne aliquote à un seul maillon".
Si s(s(n))=n, alors n est un nombre amiable et s(n) est le deuxième nombre amiable de la paire.Exemple :
s(s(220))=s(284)=220.
Ou alors, dit autrement :
s(220)=284 et s(284)=220.
Aujourd'hui, on connait plus de 1 milliard de paires de nombres amiables, dont une où les deux nombres s'écrivent avec 56250 chiffres en base 10 :
https://sech.me/ap/log/2017/2017-06-28/JOBLING.txtUne paire de nombres amiables peut aussi être appelé une "chaîne aliquote à deux maillons".
Existe-t-il une chaîne aliquote à 3 maillons ?
Personne n'en a encore trouvée.
A 4 maillons ? On en connait pas loin de 1500.
On connait des chaines à 5, 6, 8, 9 et 28 maillons !
Rien d'autre.
Pour bien comprendre, voici la plus petit chaîne à 5 maillons :
12496, 14288, 15472, 14536, 14264
En effet, s(12496)=14288, s(14288)=15472, s(15472)=14536, s(14536)=14264 et s(14264)=12496 et la boucle est bouclée.
Voir ici :
http://djm.cc/sociable.txtPour approfondir le sujet, n'hésitez pas à aller sur mon site !
En espérant t'avoir répondu AlainD.