[Débat] La démonstration de conjectures...

[JeromeC]

Tu parles du post de bcoz ?

[bcoz]

Malgré le post de *désolé, j'ai oublié le pseudo *, je ne trouve pas la démarche intéressante... Ce n'est que mon avis. 

Pour popolito (même si je sais d'avance que ça ne te convaincra pas  ):

D'accord avec toi que les essais numériques, modèles heuristiques, réfutations par contre-exemples, ..., ne sont pas aussi intéressants qu'un raisonnement « fulgurant » qui devient une évidence quand on l'a compris.
Néanmoins, en y réfléchissant un peu, est-ce si différent de bien des démos qui prennent des dizaines de pages et passent par des détours pour le moins scabreux (même si formellement corrects).

Pour moi, les connaissances mathématiques forment un tout, composé à la foi de connaissances empiriques et numériques, de démonstrations brillantes, de moins brillantes, de franchement obscures. Pour faire un parallèle avec la géométrie, certaines démonstrations visuelles sont bien plus élégantes que leur équivalent en géométrie algébrique.

De toute façon il ne faut pas oublier deux ou trois trucs de base sur les maths :

-   Les théorèmes sont des béquilles que nous utilisons pour pallier notre faiblesse intellectuelle : toutes les maths sont incluses dans les axiomes et les règles logiques de base. Les théorèmes sont juste là pour nous éviter de refaire le raisonnement à chaque fois, compte tenu de nos limitations. Il n'y a donc aucune créativité intrinsèque dans ces théorèmes, simplement une bonne adéquation entre l'usage que l'on en a et le besoin de compacité de nos raisonnements.

-   Quand on utilise les math pour un usage réel  (je veux dire non purement mathématique), en réalité on fait de la physique, c'est-à-dire qu'on utilise un modèle en espérant qu'il colle à la réalité. Dans ce cadre, peu importe si ce que l'on utilise vient d'un raisonnement ou d'un essai numérique,  la seule chose qui compte c'est l'efficacité.

-   Historiquement, c'est souvent après des approches à tâtons et des essais numériques, ou en se basant sur des tables de calcul que sont venus des théorèmes intéressants en théorie des nombres (en tous cas, tous les grands anciens ont passé par là).

-   Quasiment toutes les démonstrations mathématiques sont basées sur un raisonnement purement syntaxique, agrémenté soit de récurrence, soit de preuve par l'absurde. Or la preuve par l'absurde n'est finalement que la généralisation du contre exemple.

[JeromeC]

Fiouuuuuu.... et bé, c'est beau d'aimer les maths, je regrette presque de m'en être détaché, telle la feuille morte de sa branche à l'automne

[popolito]

Bien sûr bcoz, je te suis, et je suis en partie d'accord avec toi :

-Les théorèmes sont des béquilles que nous utilisons pour pallier notre faiblesse intellectuelle : toutes les maths sont incluses dans les axiomes et les règles logiques de base. Les théorèmes sont juste là pour nous éviter de refaire le raisonnement à chaque fois, compte tenu de nos limitations. Il n'y a donc aucune créativité intrinsèque dans ces théorèmes, simplement une bonne adéquation entre l'usage que l'on en a et le besoin de compacité de nos raisonnements.

Complètement d'accord. D'ailleurs, ça ne me dérange pas si ça reste des conjectures 

Quand on utilise les math pour un usage réel  (je veux dire non purement mathématique), en réalité on fait de la physique, c'est-à-dire qu'on utilise un modèle en espérant qu'il colle à la réalité. Dans ce cadre, peu importe si ce que l'on utilise vient d'un raisonnement ou d'un essai numérique,  la seule chose qui compte c'est l'efficacité.

Oui, dans ces moments là, on adapte un peu les maths (d'ailleurs, en général, la physique, ça ressemble à d'la magouille pour trouver le résultat que l'on veut  ).

Historiquement, c'est souvent après des approches à tâtons et des essais numériques, ou en se basant sur des tables de calcul que sont venus des théorèmes intéressants en théorie des nombres (en tous cas, tous les grands anciens ont passé par là).

Ouais mais, est-ce qu'ils sont allés jusqu'à tester 1 000 000 000 000 000 000 000 000 de possibilités avec une petite feuille et une plume ? C'est justement ce qui me dérange.

Quasiment toutes les démonstrations mathématiques sont basées sur un raisonnement purement syntaxique, agrémenté soit de récurrence, soit de preuve par l'absurde. Or la preuve par l'absurde n'est finalement que la généralisation du contre exemple.

Mais si à chaque fois qu'on bute, on cherche un contre-exemple qui n'existe peut-être pas, on ne s'en sort pas. Bon, et en ce qui concerne la récurrence, je n'ai qu'une chose à dire : http://desencyclopedie.wikia.com/wiki/Démonstration_par_récurrence 

[bcoz]

http://desencyclopedie.wikia.com/wiki/Démonstration_par_récurrence 

[JeromeC]

Excellent la désencyclopédie, comme d'hab

[alipse]

j'adore le lien...