Quant à moi, je suis très actif dans le domaine des suites aliquotes.
Vous pouvez voir mon site cité sur la page Wikipedia proposée par Jack, mais bien plus détaillé sur le sujet :
www.aliquotes.comJe décompose parfois des nombres à 160 chiffres. Comme l'a bien expliqué Jack, méthode ECM pour rechercher des facteurs jusqu'à 55 chiffres (durée à trois mois). Si échec, méthode NFS sur 8 ou 12 cores (durée idem). Et la suite aliquote avance d'un terme ! On rentre alors tout dans la base de données prévue à cet effet :
http://factordb.com/sequences.phpPour anticiper la question "A quoi ça sert ?" :
Les suites aliquotes sont une curiosité de la théorie des nombres qui mettent en relief plusieurs grandes questions restées ouvertes comme la conjecture de Goldbach, les nombres parfaits, les nombres amiables, des théorèmes de Lenstra etc... Et progresser dans toutes ces questions permettra à la communauté des mathématiciens de trouver de nouvelles méthodes, de nouveaux algorithmes. Les nombres premiers sont le ciment qui permet de construire les nombres. Et mieux les connaître est fondamental.
La théorie des nombres (appelée aussi arithmétique) est le fondement des mathématiques.
La grande question en ce qui concerne les suites aliquotes est : en existe-t-il qui "partent" vers l'infini ? La première candidate est 276 (cliquer ici :
http://factordb.com/sequences.php?se=1&aq=276&action=last20&fr=0&to=100).
Comme vous le voyez pour cette suite aliquote, le nombre à factoriser fait actuellement 177 chiffres (mais ça va bientôt changer quand ça aura avancé) et ça prendra des mois sur 12 coeurs !
Elle est réservée à une personne qui est en train de la calculer.
On réserve chacun nos suites aliquotes pour qu'on ne soit pas plusieurs à calculer les mêmes (voir ici :
http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=11588)
Une conjecture vieille de plus de un siècle affirme que toutes les suites aliquotes tombent finalement sur 1 ou sur une chaîne aliquote, mais nous sommes plusieurs à penser le contraire, voir ici en ce qui me concerne :
http://www.aliquotes.com/infirmer_catalan.pdfYafu, mais aussi yoyo font des calculs pour les suites aliquotes.
Si questions, n'hésitez pas...
Dernière remarque : la théorie des nombres peut proposer des conjectures très simples à comprendre dont la démonstration peut prendre des siècles (et tenir sur des centaines ou des milliers de pages !), voire s'avérer impossible ! Pour certaines de ces questions, les mathématiciens ne savent même pas comment aborder le problème. Il reste alors une seule approche : la puissance de calcul brute pour essayer de repérer des "régularités" et donc trouver des pistes pour enfin essayer de s’attaquer au problème. Car l'existence de l'ordinateur est somme toute très récente. Le souci avec cette approche est que ce genre de recherche à l'aveugle fait finalement repérer des choses inconnues et pose donc encore plus de questions qu'on en avait au départ. En fait, c'est un bonheur et je crois bien que la moitié du boulot est déjà faite quand on arrive à poser une bonne question, c'est à dire énoncer une nouvelle conjecture (souvent à l'aide de l'ordinateur) qu'il faudra ensuite démontrer (à l'aide de la théorie, mais aussi maintenant parfois à l'aide de l'ordinateur...)
Jean-Luc
