Le souligné rouge avec clic droit est soit une option du navigateur (cf ses paramètres), soit une extension / add-on et autre installé dans le navigateur (avec choix de langue ou détection automatique de langue, selon les modèles).
Pour utiliser l'extension de correction grammaticale que tu m'as fait découvrir, une fois installée dans FF, il y a un petit bouton circulaire qui se met à tourner quand la souris passe dessus, toujours positionné dans le coin inférieur gauche de toute zone de saisie de texte, avec un menu contextuel contenant diverses options (pas que de la correction : du formatage automatique aussi, et j'ai pas pris le temps de tout explorer).